Форма объекта и его линейные размеры определяют один из важных с геометрической точки зрения параметров — объём. Формула для прямоугольника, позволяющая его вычислить, довольно проста и основана на знании стороны и высоты. Но при решении не всегда известны значения рёбер фигуры, поэтому приходится использовать свойства параллелограмма, а именно — способы нахождения площади.
Общие сведения
По своей сути объём является количественной характеристикой пространства, которое занимает тело или вещество. Простыми словами, этот параметр показывает вместимость. В качестве единицы измерения, согласно СИ, принят кубический метр. За обозначение же объёма взята латинская буква V.
У тел, имеющих простую форму, характеристики находятся путём перемножения площади на высоту. Например, для куба он равен a3, прямоугольной призмы — h * b * a, пирамиды — (S * b * h) / 3. В эллипсоидных фигурах при расчётах используется радиус. Так, для конуса объём равен (p * R2 * h) / 3, сферы — (4 * p * R3) / 3, тора — 2 * p2 * R1 * R22.
Объём плоских фигур, таких как треугольник, круг, квадрат, прямоугольник, равен нулю. Но если их стороны или окружности имеют связанные с ними попарно параллельные линии, то они уже являются объёмными фигурами. Например, прямоугольник в пространстве называют параллелепипедом. Таким образом, чтобы найти объём прямоугольника, необходимо, чтобы он представлял собой прямоугольный параллелепипед, иначе действие будет бессмысленным.
Определить объём — значит, знать две основные величины фигуры:
- площадь — двумерная характеристика, определяющая размер фигуры,
- высоту — это длина перпендикуляра, опущенного из вершины на основание в трёхмерном пространстве.
Так как площадь измеряется в метрах квадратных, а высота просто в метрах, то перемножение площади и высоты как раз и даст единицу измерения объёма — метр кубический.
Решение задач
На самом деле вычисление объёма не только выполняют на уроках математики. Это знание востребовано в довольно многих специальностях и науках. Например, при строительстве, в архитектуре, инженерии, физике, химии. Поэтому знание нахождения параметра может пригодиться не только в школе. Теорию обязательно необходимо закреплять на практике. Вот некоторые задачи, которые помогут усвоить рассматриваемый материал:
- Пусть есть параллелепипед с прямыми сторонами. Его рёбра у основания равняются 19 и 20 сантиметрам. Размер же боковой грани составляет 10 сантиметров. Вычислить объём фигуры. Эта задача на одну формулу, все данные для подстановки в неё известны. Так, V = a * b * c = 19 * 20 * 10 = 3 800 см3 = 0,0038 м³.
- Пусть имеется параллелепипед с основанием 1 см на 1,2 см и высотой 0,8 см. Из него был удалено другое прямоугольное тело с размерами 0,3 x 0,55 x 0,5. Найти объём получившейся фигуры. Так как искомый параметр новой фигуры равен разнице изначального и удалённого объёмов, то зная формулу найти ответ не составит труда: V = 0,8 * 1 * 1,2 — 0,3 * 0,5 * 0,55 = 0,877 см3.
- Дан прямоугольный параллелепипед с вершинами ABCD и A1B1C1D1. Сравнить объём образованного в середине пирамиды AA1BD тела со значением фигуры. Для удобства решения стороны AB, AD, AA соответственно можно обозначить как x, y, z. Тогда объём прямоугольного тела будет равен Vп = Sп * AA1 = x * y * z. Если начертить условие на рисунке, то можно отметить, что площадь пирамиды вполовину меньше площади основания прямоугольника. То есть, Sabd = 0,5 * Sabd. Тогда V = Sabd * AA1 / 3 = x * y * z / 3 * 2 = x * y* z / 6. Значит, объём вписанной пирамиды меньше в шесть раз чем у фигуры.
- В гальванической ванне помещается три тысячи литров раствора. Высота наполнения ёмкости при этом достигает 75 сантиметров. В ванную поместили заготовку, после чего уровень поднялся на два сантиметра. Найти объём заготовки в метрах кубических. Итак, в одном кубическом метре содержится тысяча литров. Поэтому изначально в ёмкости было 3 м³ раствора. Значит, изначально в ванне раствор занимал: 3 = S * 75. Отсюда s = 3/75 = 1/25 см2. Объём детали составляет: V = S * 2 = (1/25) * 2 = 2 / 25 = 0,08 м³.
Использование калькулятора
Конечно же, на обычном калькуляторе объём прямоугольника не подсчитаешь. Разве что известны три его грани и формула нахождения параметра. Тогда нужно будет просто перемножить три числа. В других же случаях, когда нужно решить сложную задачу, связанную с громоздкими вычислениями, можно использовать математические сайты, имеющие название онлайн-калькуляторы.
Это интернет-сервисы, предлагающие своим пользователям бесплатно воспользоваться услугами по вычислению объёма геометрических фигур и выполнить другие математические операции. Для того чтобы воспользоваться сайтами-решателями, нужно иметь любой гаджет с возможностью подключения его к интернету и установленным на него веб-обозревателем.
После загрузки онлайн-калькулятора все действия пользователя сводятся к заполнению специальной формы в которую вносится условие задания. Конечно же, такое решение не может называться самостоятельным, но для проверки полученного результата или выявления ошибок в расчёте подходит идеально. Кроме, непосредственно автоматического вычисления объёма большинство сайтов содержат на своих страницах теоретический материал, а также примеры решений типовых заданий. Так что при обучении учащихся их использование на первых порах вполне оправданно.