Функция в алгебре: её свойства, определение и понятие

Одним из основных понятий в математике, если не самым основным, является понятие функции. Для понимания этого термина, его значения, смысла и необходимости, обратимся к следующему примеру:

Вообразим себе обыкновенный автомобиль. Предположим, что он постоянно двигается со скоростью 80 км/ч и не меняет её на протяжении всего пути. А теперь попробуем выяснить: сколько километров проедет автомобиль, если в пути он будет находиться 5 часов? Итак, нам известна скорость и время. Попробуем составить зависимость:

…

Нам были известны всего две величины: скорость автомобиля и время, которое он находился в пути. Взглянув на таблицу, можно понять, что между временем, которое находился автомобиль в пути, и пройденным им расстоянием есть чёткая зависимость — каждый час автомобиль проезжает на 80 километров больше. Что ж, давайте немного приблизимся к алгебре и введём две переменные: y и x.

Y это наше расстояние, а x — время пути. Составим уравнение: y = 80 * x. Теперь вместо x подставим время:

• Y = 80 * 1. Получается 80 — значение расстояния, которое автомобиль пройдёт за 1 час.
• Теперь вместо x подставим 2. Получается: y = 80 * 2 = 160. Это значение расстояния, которое пройдёт автомобиль при условии, что он будет ехать 2 часа.

Теперь введём следующую запись: y(x). Эта запись означает зависимость первой переменной от второй, а наше окончательное уравнение для движения автомобиля будет выглядеть следующим образом: y(x)=80x. Y в алгебре принято называть функцией, а x аргументом.

Смысл

Пользуясь приведённым примером, мы чётко и ясно можем понять, что определение функции — это зависимость одной переменной от другой.

Очень важно понимать, что y = 80 * x не единственная зависимость. Стоит нам лишь изменить скорость автомобиля, то все ý при тех же значениях аргумента будут совсем другие. Кроме того, существует огромное множество зависимостей, которые могут иметь другой вид.

Способы задания

Всего в математике существует три способа задания функции:

• «Формульный способ». С помощью формулы мы всегда можем определить ý. Допустим, что у нас есть зависимость y = 5x + 1. Чтобы найти все y, нам просто нужно подставить вместо x любое число, например: если x = 0, y = 1, если x = 5, y = 26. В этой функции мы можем принимать любые значения аргумента, но если нам встретится следующая зависимость: y = √x, то мы сможем взять за x все числа, кроме отрицательных, так как число под корнем не может быть с минусом.
• Табличный способ задания также очень сильно распространён. Мы уже встречались с таблицей, когда приводили пример про автомобиль. Для того чтобы составить таблицу, необходимо всего лишь найти несколько значений y при нескольких значениях аргумента.
• Графический способ задания. Когда только начинают знакомятся с функциями, обязательно вводят такое понятие, как график. Давайте рассмотрим, что же он из себя представляет.

Перед вами координатная плоскость — основа для графика. Она состоит из вертикальной оси Y оси значений, и из горизонтальной оси X аргумента. У координатной плоскости обязательно есть начало отсчёта, которая обозначается нулём, и единичный отрезок (в данном примере единичный отрезок равен одной клетке).

На координатной плоскости мы можем взять любой единичный отрезок. Например, если нам удобно, значение одной клетки будет ни 1, а 100. Следовательно, две клетки 200 и так далее. Здесь мы можем построить любой график и, соответственно, увидеть любую зависимость.

На координатной плоскости мы видим график 2x 1. Графиком является прямая. Как же определить зависимость? Давайте приметим любое значение аргумента, например, 0. Когда x = 0, значение равно 1, что чётко видно на графике. Когда аргумент = -1, значение также равно -1.

Свойства

В алгебре есть невообразимое количество свойств функции, но основными и действительно важными являются лишь некоторые.

• «Область определения». Это понятие очень простое: оно подразумевает собой абсолютно все числа, которые может принимать переменная x. Например, в функции y = x 2, переменная x может принимать все значения, то есть от минус бесконечности до плюс бесконечности. Другое дело, например, такая функция: y = √x. Так как под корнем не может стоять отрицательное число, допустимыми значениями аргумента могут быть все числа от нуля до плюс бесконечности.
• Если область определения все значения аргумента, то следующее свойство функции, называемое «область значений» — это все значения, которые может принимать переменная y. Поскольку значения функции зависимы от аргумента, то тут ничего выдумывать не надо, а просто вычислять.
• «Ограниченность» определить очень просто: если в рассматриваемой функции существует максимальное или минимальное значение y, то мы говорим, что функция будет называться ограниченной либо сверху, либо снизу.
• «Непрерывность» —тоже очень простое свойство. Например, зависимость ý = 2x 1, которую мы уже рассматривали, непрерывна, так как её график нигде не прерывается. Если же в какой-либо функции график будет прерываться, можно говорить, что она прерывается на определённом промежутке.
• «Выпуклость» также присуща не всем графикам. У линейной зависимости её быть не может, поскольку это прямая и она не может быть выпуклой. А, например, парабола может быть выпуклой либо вверх, либо вниз.
• Нули функции это пересечение с осями. То есть, если нам необходимо описать данное свойство, нужно будет найти, в каком месте график пересекается с осью абсцисс и в каком месте с осью ординат.

Подводя итог, мы можем сказать, что функция — это важнейшее понятие в математике, ведь, по сути, ею можно описать любые процессы.