Вычисление числовых выражений в 7 классе является базой для изучения других дисциплин, поскольку применяется специальный алгоритм для упрощения решения задач. В интернете можно найти много методик, обеспечивающих быстрый расчет заданий и параметров. Однако не все они являются правильными, так как составляются людьми, которые не являются специалистами в физико-математической сфере.
Общие сведения
В алгебре существует 2 типа выражений: числовой и алгебраический. Многие их путают, поскольку не знают смыслового значения. Определение для первого типа: числовое — вид тождества, которое состоит из чисел, скобок и знаков арифметических операций.
Иными словами, числовое выражение представляет собой совокупность чисел и знаков арифметических операций, имеющую логическое завершение. Алгебраическое — тождество, содержащее не только все компоненты числового, но и неизвестные (переменные) величины. Например, 25-(25-m)+2 (3−2m).
Например, тождество «25-(25 / 5)*2» является числовым выражением, а «25-*2+*3» — просто набор математических символов. Последний нельзя называть числовым или алгебраическим.
Операция сложения обозначается знаком «+, вычитания — «-, умножения (произведения) — «*, деления — «/ или «:». В первом случае основными компонентами выражения являются 2 слагаемых и результат — сумма. Следует отметить, что слагаемых может быть любое количество.
Однако этот подход занял бы намного больше времени, а также привел к возможным ошибкам. Исходя из этого можно сформулировать главный принцип не только алгебры, но и других дисциплин с физико-математическим уклоном. Суть его состоит в следующем: любое выражение перед нахождением окончательного результата следует привести к простому виду.
Универсальный алгоритм
Математики разработали специальный алгоритм, облегчающий вычисления на начальном этапе обучения. Кроме того, его можно применять и при сложных расчетах. Суть его заключается в разбиении сложного выражения на модули (части). Это понятие впервые было введено древнегреческим ученым Пифагором.
Для примера следует разобрать выражение, состоящее из всех арифметических операций: [2s (2-s)+(s-1)^2+s 2 ] / [3 (1-s)(1+s)+3s 2 ]. Чтобы его решить, необходимо руководствоваться следующим универсальным алгоритмом:
- Ввести обозначения: К = 2s (2-s), L = (s-1)^2, М = s 2 , N = 3, О = (1-s)(1+s) и Р = 3s 2 .
- Записать полученное выражение: (K +L+M) / (N*O+P).
- Вычислить значение K, раскрыв скобки: 2s (2-s) = 4s-2s 2 .
- Найти L: s 2 -2s + 1.
- Записать числитель обыкновенной дроби, а затем осуществить сложение подобных компонентов: К+L+М = 4s-2s 2 +s 2 -2s+1+s 2 = 4s-2s+1 = 2s+1.
- Вычислить О, используя формулу: (1-s)(1+s) = 1-s 2 .
- Записать произведение компонентов (N*О: N*О = 3 (1-s 2 ) = 3−3s 2 .
- Конечная запись знаменателя: N*O+P = 3−3s 2 +3s 2 = 3.
- Результат вычисления: (K+L+M) / (P+N*O) = (2s+1) / 3.
Вычисление выражения позволяет сформулировать основное правило: при решении сложного тождества нужно разбить его на простые элементы. Этот принцип позволяет решать задачи, связанные с такими направлениями: бизнес, программирование, научные исследования и т. д.
Примеры задач и их решение
Задачи делятся на простые и сложные. Для решения первых следует применить определенные знания, которые не связаны со сложными формулами и продолжительными вычислениями. Сложные вычисляются посредством формул, упрощения, а также приведением подобных элементов.
Простое задание
Найдите значение числового выражения вида: 2 (5−6:3)^2−4−2 2 *(72−9*4−7*5). Для расчета требуется воспользоваться вычислением по универсальному алгоритму:
- Обозначения для компонентов тождества: P = 2 (5−6:3)^2 и R = 4+2 2 *(72−9*4−7*5).
- Вычисление P: Р = 2 (5−6:3)^2 = 2 (5−2)^2 = 2*3 2 = 18.
- Расчет R: R = 4+2 2 *(72−9*4−7*5) = 4−4*(72−36−35) = 4+4*1 = 8.
- Запись результата: P-R = 18−8 = 10.
Результаты вычислений в первом и втором случаях совпадают, поскольку решение тождества выполнено верно.
Для опытных математиков
Для продвинутых математиков нужно разобрать такой пример: [4p 2 -40p+100+(4-p 2 )(p 2 -10p+25)] / [(p-5)^2+2 (p 2 +20p-30p+25)(2-p)(2-p)]. Это выражение нужно упростить, используя свойство дроби (числитель и знаменатель можно делить или умножать на эквивалентные значения). Решать нужно по следующему алгоритму:
- Вынесение общего множителя в числителе: 4p 2 -40p+100+(4-p 2 )(p 2 -10p+25) = 4 (p 2 -10p+25)+(4-p 2 )(p 2 -10p+25) = (p-5)^2*(8-p 2 ).
- Операция со знаменателем: (p-5)^2+2 (p 2 +20p-30p+25)(2-p)(2-p) = (p-5)^2*(1+8−2p 2 ).
- Сократить дробное тождество на (p-5)^2: (8-p 2 ) / (9−2p 2 ).
Результат, полученный в последнем пункте, нужно оставить без изменений, т. к. выражение является упрощенным.
Таким образом, для решения алгебраических и числовых выражений следует руководствоваться определенными алгоритмами, позволяющими избежать ошибок и лишних вычислений.